行列式是一種重要且非常有用的數(shù)學(xué)工具,最早它是一種語(yǔ)言或速記的表達(dá)方式,出現(xiàn)于線(xiàn)性方程組的求解問(wèn)題中,但隨著其在數(shù)學(xué)中廣泛的應(yīng)用而逐漸成為線(xiàn)性代數(shù)的重要組成部分。
行列式是由微積分學(xué)奠基人之一的德國(guó)數(shù)學(xué)家萊布尼茨和日本數(shù)學(xué)家關(guān)孝和發(fā)明的。1693年4月,萊布尼茨在寫(xiě)給洛必達(dá)的一封信中使用了“行列式”,并給出了線(xiàn)性方程組系數(shù)行列式為零的條件,同時(shí)代的日本數(shù)學(xué)家關(guān)孝和在其著作《解伏題之法》中也提出了行列式的概念與算法。
1750年,瑞士數(shù)學(xué)家克萊姆在其著作《線(xiàn)性代數(shù)分析導(dǎo)引》中對(duì)行列式的定義和展開(kāi)法給出了比較完整、明確的闡述,并給出了解線(xiàn)性方程組的克萊姆法則。之后,數(shù)學(xué)家貝祖將確定行列式每一項(xiàng)符號(hào)的方法進(jìn)行了系統(tǒng)化,而且利用系數(shù)行列式概念指出了如何判斷一個(gè)齊次線(xiàn)性方程組是否有非零解。
在很長(zhǎng)一段時(shí)間內(nèi),行列式只是作為解線(xiàn)性方程組的一種工具使用,并沒(méi)有人意識(shí)到它可以獨(dú)立于線(xiàn)性方程組之外,單獨(dú)形成一門(mén)理論加以研究。在行列式的發(fā)展史上,第一個(gè)對(duì)行列式理論做出連貫的、邏輯的闡述,即把行列式理論與線(xiàn)性方程組求解相分離的人是法國(guó)數(shù)學(xué)家范德蒙。范德蒙自幼在父親的指導(dǎo)下學(xué)習(xí)音樂(lè),但他對(duì)數(shù)學(xué)有著濃厚的興趣,后來(lái)成為了法蘭西科學(xué)院院士,特別地,范德蒙給出了用二階子式和它們的余子式展開(kāi)行列式的法則,就行列式本身這一點(diǎn)來(lái)說(shuō),他是這門(mén)理論的奠基人。1772年,拉普拉斯在一篇論文中證明了范德蒙提出的一些規(guī)則,并推廣了范德蒙的展開(kāi)行列式的方法。
繼范德蒙之后,在行列式的理論方面,又一位做出突出貢獻(xiàn)的就是法國(guó)數(shù)學(xué)家柯西。1815年,柯西在一篇論文中給出了行列式的第一個(gè)系統(tǒng)的、幾乎是近代的處理,其中主要結(jié)果之一就是行列式的乘法定理。另外,柯西第一個(gè)把行列式的元素排成方陣,采用雙足標(biāo)記法,并引進(jìn)了行列式特征方程的術(shù)語(yǔ)及相似行列式概念,改進(jìn)了拉普拉斯的行列式展開(kāi)定理,同時(shí)給出了證明。
在19世紀(jì)的半個(gè)多世紀(jì)中,對(duì)行列式理論研究始終不渝有給出證明，是英國(guó)數(shù)學(xué)家西爾維斯特。西爾維斯特是一個(gè)活潑、敏感、興奮、熱情,甚至容易激動(dòng)的人,他用火一般的熱情介紹著他的學(xué)術(shù)思想,西爾維斯特的重要成就之一是改進(jìn)了從一個(gè)幾次和一個(gè)m次的多項(xiàng)式方程中消去x的方法,稱(chēng)為配析法,并給出在此過(guò)程中形成的行列式為零是這兩個(gè)多項(xiàng)式方程有公共根的充分必要條件這一結(jié)果,但沒(méi)有給出證明，
柯西之后,在行列式理論方面最多產(chǎn)的人就是德國(guó)數(shù)學(xué)家雅可比。雅可比引進(jìn)了函數(shù)行列式,即“雅可比行列式”,指出了函數(shù)行列式在多重積分的變量替換中的作用,并給出了函數(shù)行列式的導(dǎo)數(shù)公式。雅可比的著名論文《論行列式的形成和性質(zhì)》標(biāo)志著行列式系統(tǒng)理論的建成。
行列式在線(xiàn)性方程組理論、二次型理論、數(shù)學(xué)分析、幾何學(xué)等多方面的應(yīng)用促使行列式理論自身在19世紀(jì)得到了很大的發(fā)展,整個(gè)19世紀(jì)都有行列式的新結(jié)果,除一般行列式的大量定理外,還相繼得到許多有關(guān)特殊行列式的定理與性質(zhì)。（韓云娜） |
