微分方程的數(shù)學(xué)模型是反映客觀現(xiàn)實(shí)世界中量與量的變化關(guān)系，經(jīng)常性的表現(xiàn)出與時(shí)間有關(guān)的一個(gè)動(dòng)態(tài)的系統(tǒng)。于是在構(gòu)造常微分方程時(shí)，一般有以下幾種方法：
(1)運(yùn)用已知的基本定律或基本公式建立常微分方程模型
這個(gè)方法是最常用的，從物理、力學(xué)、生物學(xué)、經(jīng)濟(jì)學(xué)、人口學(xué)等學(xué)科中已知的定理或定律上出發(fā)，考慮其主要因素，忽略不重要的因素，找出各變量及各變量的導(dǎo)數(shù)關(guān)系式，列出相應(yīng)的微分方程，建立出來合理的數(shù)學(xué)模型。
(2)利用導(dǎo)數(shù)的定義建立微分方程模型
在微積分中導(dǎo)數(shù)是一個(gè)重要概念，其定義為
如果函數(shù) 是可微的，那么 就可解釋為 相對(duì)于 在該點(diǎn)的瞬時(shí)變化率。在很多數(shù)學(xué)建模中我們會(huì)應(yīng)用到導(dǎo)數(shù)，并且把導(dǎo)數(shù)解釋為瞬時(shí)變化率.比如在人口增長問題里的“速率”、“增長”;在物理學(xué)中速度的變化，加速度的問題。在第三章的減肥問題的模型中，就是利用導(dǎo)數(shù)的定義建立了一個(gè)一階非齊次微分方程來作為變量之間的關(guān)系式。
(3)利用微元分析法和在任意區(qū)域取積分的方法建立常微分方程模型
這種方法主要是通過尋求微元之間的關(guān)系式，直接對(duì)函數(shù)運(yùn)用有關(guān)定律建立模型.在我們生活中，有許多現(xiàn)象可以用各變量的微元的關(guān)系式來表達(dá)。一般的，對(duì)于這類問題，我們可以利用微元分析法將一些已知的規(guī)律建立自變量與未知函數(shù)之間的關(guān)系式，然后再通過計(jì)算極限的方法來得到微分方程，或者通過取積分的方法來得到方程。這種方法經(jīng)常被應(yīng)用于各種領(lǐng)域.例如在空間解析幾何上可以用微元法求曲線的弧長、平面圖形的面積、旋轉(zhuǎn)曲面的面積、旋轉(zhuǎn)體體積等。
(4)模擬近似法
在生物經(jīng)濟(jì)等領(lǐng)域中，我們對(duì)于問題的規(guī)律或者現(xiàn)象不是很清楚或者問題比較復(fù)雜的情況，常用模擬近似法來建立常微分方程模型.這類模型一般要做一些合理假設(shè)，將要研究的問題突出出來.這個(gè)過程往往是近似的，因此用此法建立常微分方程模型后，要分析其解的有關(guān)性質(zhì)，在此基礎(chǔ)上同實(shí)際情況對(duì)比，看所建立的模型是否符合實(shí)際，必要時(shí)要對(duì)假設(shè)或模型進(jìn)行修改。
在實(shí)際建立模型的過的程中，不可能只用到一種方法，往往是將以上的方法結(jié)合起來，應(yīng)用到實(shí)際問題中。但是，不論用到哪種方法我們都需要根據(jù)實(shí)際情況進(jìn)行問題的簡化、假設(shè)、計(jì)算等過程，并且要對(duì)結(jié)果進(jìn)行分析，下面根據(jù)我們上面建立的模型來具體解釋建模時(shí)所需要的步驟。
基礎(chǔ)部：劉小剛 |
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