行列式是一種重要且非常有用的數(shù)學(xué)工具，最早它是一種語言或速記的表達方式，出現(xiàn)于線性方程組的求解問題中，但隨著其在數(shù)學(xué)中廣泛的應(yīng)用而逐漸成為線性代數(shù)的重要組成部分。
行列式是由微積分學(xué)奠基人之一的德國數(shù)學(xué)家萊布尼茨和日本數(shù)學(xué)家關(guān)孝和發(fā)明的。1693年4月，萊布尼茨在寫給洛必達的一封信中使用了“行列式”，并給出了線性方程組系數(shù)行列式為零的條件，同時代的日本數(shù)學(xué)家關(guān)孝和在其著作《解伏題之法》中也提出了行列式的概念與算法。
1750年，瑞士數(shù)學(xué)家克萊姆在其著作《線性代數(shù)分析導(dǎo)引》中對行列式的定義和展開法給出了比較完整、明確的闡述，并給出了解線性方程組的克萊姆法則。之后，數(shù)學(xué)家貝祖將確定行列式每一項符號的方法進行了系統(tǒng)化，而且利用系數(shù)行列式概念指出了如何判斷一個齊次線性方程組是否有非零解。
在很長一段時間內(nèi)，行列式只是作為解線性方程組的一種工具使用，并沒有人意識到它可以獨立于線性方程組之外，單獨形成一門理論加以研究。在行列式的發(fā)展史上，第一個對行列式理論做出連貫的、邏輯的闡述，即把行列式理論與線性方程組求解相分離的人是法國數(shù)學(xué)家范德蒙。范德蒙自幼在父親的指導(dǎo)下學(xué)習(xí)音樂，但他對數(shù)學(xué)有著濃厚的興趣，后來成為了法蘭西科學(xué)院院士，特別地，范德蒙給出了用二階子式和它們的余子式展開行列式的法則，就行列式本身這一點來說，他是這門理論的奠基人。1772年，拉普拉斯在一篇論文中證明了范德蒙提出的一些規(guī)則，并推廣了范德蒙的展開行列式的方法。
繼范德蒙之后，在行列式的理論方面，又一位做出突出貢獻的就是法國數(shù)學(xué)家柯西。1815年，柯西在一篇論文中給出了行列式的第一個系統(tǒng)的、幾乎是近代的處理，其中主要結(jié)果之一就是行列式的乘法定理。另外，柯西第一個把行列式的元素排成方陣，采用雙足標(biāo)記法，并引進了行列式特征方程的術(shù)語及相似行列式概念，改進了拉普拉斯的行列式展開定理，同時給出了證明。
在19世紀(jì)的半個多世紀(jì)中，對行列式理論研究始終不渝有給出證明，是英國數(shù)學(xué)家西爾維斯特。西爾維斯特是一個活潑、敏感、興奮、熱情，甚至容易激動的人，他用火一般的熱情介紹著他的學(xué)術(shù)思想，西爾維斯特的重要成就之一是改進了從一個幾次和一個m次的多項式方程中消去x的方法，稱為配析法，并給出在此過程中形成的行列式為零是這兩個多項式方程有公共根的充分必要條件這一結(jié)果，但沒有給出證明，
柯西之后，在行列式理論方面最多產(chǎn)的人就是德國數(shù)學(xué)家雅可比。雅可比引進了函數(shù)行列式，即“雅可比行列式”，指出了函數(shù)行列式在多重積分的變量替換中的作用，并給出了函數(shù)行列式的導(dǎo)數(shù)公式。雅可比的著名論文《論行列式的形成和性質(zhì)》標(biāo)志著行列式系統(tǒng)理論的建成。
行列式在線性方程組理論、二次型理論、數(shù)學(xué)分析、幾何學(xué)等多方面的應(yīng)用促使行列式理論自身在19世紀(jì)得到了很大的發(fā)展，整個19世紀(jì)都有行列式的新結(jié)果，除一般行列式的大量定理外，還相繼得到許多有關(guān)特殊行列式的定理與性質(zhì)。 |
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