翻閱近十年的數(shù)學真題，同學可以發(fā)現(xiàn)：幾乎每一年的試題中都會有一道證明題，而且基本上都可以用中值定理來解決，重點考察同學的邏輯推理分析能力，但是參加研究生(論壇) 數(shù)學考試的同學所學專業(yè)要么是理工要么是經(jīng)管，同學們在大學學習數(shù)學的時候?qū)τ谶壿嬐评矸矫娴挠柧毚蠖嗍遣粔虻模@就導致你們數(shù)學考試中遇到證明推理題就發(fā)怵，根本不想去想，以致簡單的證明題得分率卻極低。下面給同學們總結了一些方法步驟或思路，以后在遇到證明題時不妨試一試。
第一步：首先要記住零點存在定理，介值定理，中值定理、極限存在的兩個準則等基本原理，包括條件及結論，中值定理最好能記住他們的推到過程，有時可以借助幾何意義去記憶。因為知道基本原理是證明的基礎，知道的程度(即就是對定理理解的深入程度)不同會導致不同的推理能力。如2006年數(shù)學一真題第16題(1)是證明極限的存在性并求極限。只要證明了極限存在，求值是很容易的，但是如果沒有證明第一步，即使求出了極限值也是不能得分的。因為數(shù)學推理是環(huán)環(huán)相扣的，如果第一步未得到結論，那么第二步就是空中樓閣。這個題目非常簡單，只用了極限存在的兩個準則之一：單調(diào)有界數(shù)列必有極限。只要知道這個準則，該問題就能輕松解決，因為對于該題中的數(shù)列來說，“單調(diào)性”與“有界性”都是很好驗證的。再比如2009年直接讓考生證明拉格朗日中值定理；但是像這樣直接可以利用基本原理的證明題在考研(論壇) 真題中并不是很多見，更多的是要用到第二步。
第二步：可以試著借助幾何意義尋求證明思路，以構造出所需要的輔助函數(shù)。一個證明題，大多時候是能用其幾何意義來正確解釋的，當然最為基礎的是要正確理解題目文字的含義。如2007年數(shù)學一第19題是一個關于中值定理的證明題，可以在直角坐標系中畫出滿足題設條件的函數(shù)草圖，再聯(lián)系結論能夠發(fā)現(xiàn)：兩個函數(shù)除兩個端點外還有一個函數(shù)值相等的點，那就是兩個函數(shù)分別取最大值的點(正確審題：兩個函數(shù)取得最大值的點不一定是同一個點)之間的一個點。這樣很容易想到輔助函數(shù)F(x)=f(x)-g(x)有三個零點，兩次應用羅爾中值定理就能得到所證結論。再如2005年數(shù)學一第18題(1)是關于零點存在定理的證明題，只要在直角坐標系中結合所給條件作出函數(shù)y=f(x)及y=1-x在[0，1]上的圖形就立刻能看到兩個函數(shù)圖形有交點，這就是所證結論，重要的是寫出推理過程。從圖形也應該看到兩函數(shù)在兩個端點處大小關系恰好相反，也就是差函數(shù)在兩個端點的值是異號的，零點存在定理保證了區(qū)間內(nèi)有零點，這就證得所需結果。如果第二步實在無法完滿解決問題的話，轉(zhuǎn)第三步。
第三步：從要證的結論出發(fā)，去尋求我們所需要的構造輔助函數(shù)，我們稱之為“逆推”如2004年第15題是不等式證明題，該題只要應用不等式證明的一般步驟就能解決問題：即從結論出發(fā)構造函數(shù)，利用函數(shù)的單調(diào)性推出結論。在判定函數(shù)的單調(diào)性時需借助導數(shù)符號與單調(diào)性之間的關系，正常情況只需一階導的符號就可判斷函數(shù)的單調(diào)性，非正常情況卻出現(xiàn)的更多(這里所舉出的例子就屬非正常情況)，這時需先用二階導數(shù)的符號判定一階導數(shù)的單調(diào)性，再用一階導的符號判定原來函數(shù)的單調(diào)性，從而得所要證的結果。
以后同學們在做證明題時不妨試一試以上三種方法，慢慢建立自信心，以阻止考試分數(shù)的白白流失。最后祝各位考生如愿以償。 |
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