上篇文章我們提到推導(dǎo)過程對數(shù)學(xué)方法和處理方式的運用，這是當然是解題必備，另外，如果細心的同學(xué)就會注意到，通過這個推導(dǎo)過程，我們還能得到一元二次方程中一個非常重要的式子——根的判別式。在此文章中，老師繼續(xù)和大家深入探討。
回到之前的配方式，(x+b/2a)^2=(b^2-4ac)/(4a^2)。在實數(shù)域內(nèi)，等式左邊表示是一個實數(shù)的平方，我們都知道一個實數(shù)的平方一定是一個非負數(shù)，但是等式右邊關(guān)于系數(shù)a、b、c的式子算出來的數(shù)并不一定是非負數(shù)，如果是一個負數(shù)的話，該等式在實數(shù)域內(nèi)是不可能成立的，意味著該方程無根;如果等式右邊是零的話，就意味著x+b/2a只能為零，該方程只有一個根x=-b/2a(或者說兩個相等的實數(shù)根);若等式右邊是一個正數(shù)，x+b/2a是可以等于兩個不同的值的，即該方程有兩個根。上述一直在討論根的個數(shù)的問題，也就是一元二次方程的根的個數(shù)是需要由等式右邊(b^2-4ac)/(4a^2)的正負來決定的。
此時，又出現(xiàn)了另外一個問題，初中數(shù)學(xué)中根的判別式并不是這個分式，而只有該分式的分子，即判別式=b^2-4ac，這又是為何呢?不難發(fā)現(xiàn)，我們得到的這個分式的分母4a^2在a不等于0的時候一定是大于零的數(shù)，因此整個分式的正負直接由其分子決定，即判別式只需等于b^2-4ac即可判定一元二次方程根的個數(shù)。這就跟我們初中的記憶重疊在一起了，根的判別式b^2-4ac大于零時，方程有兩個不同的實數(shù)根;等于零時，方程有兩個相等的實數(shù)根;小于零時，方程無實數(shù)根。當然，這只是在實數(shù)域內(nèi)討論問題，若將數(shù)域擴充到復(fù)數(shù)域，這將意味著小于零的時候，方程是有兩個虛根的。管綜數(shù)學(xué)基礎(chǔ)的考試數(shù)域是實數(shù)域，因此不需要考慮虛根的情況。
不僅僅如此，我們知道了公式是怎么來的，知道它怎么用，還需要研究該公式能有什么樣的變形，將其擴展，使其應(yīng)用的更廣泛。
當方程有兩個不相等的實數(shù)根時，如果對兩根進行加法運算，將會得到一個很重要的數(shù)學(xué)式子，即兩根之和=-b/a;另外還可以對其進行乘法運算，就得到另外一個重要式子即兩根之積=c/a。這兩個等式都在討論根與系數(shù)的關(guān)系，也就是我們在初中學(xué)習(xí)的韋達定理。那我們就可以注意到，韋達定理是對兩根進行求和、求乘積的運算，其前提必定是方程必須有根，因此大前提就是用韋達定理，方程的判別式必須大于等于零。那么，在滿足這個前提條件時，韋達定理有著怎樣的應(yīng)用呢?
韋達定理既是將方程的根和方程的系數(shù)結(jié)合在一起，那么在根與系數(shù)關(guān)系判定中就起到很大的作用。它的第一個應(yīng)用就是求值問題，當已知條件是一個一元二次方程，所求代數(shù)式比較復(fù)雜，且是關(guān)于兩根的，就可以將所求代數(shù)式轉(zhuǎn)化為與兩根之和、兩根之積有關(guān)系的代數(shù)式，直接利用韋達定理整體帶入求值即可;第二個應(yīng)用就是根的正負問題了，在判別式大于等于零的前提下，利用兩根之和、兩根之積的正負來確定兩根的正負，此方法有效避免了解分式不等式的繁瑣步驟，大大提升解題速度。這也是管綜數(shù)學(xué)基礎(chǔ)考試中考查的重點之一。
現(xiàn)在知道了方程的求根推導(dǎo)過程，也知道了其變形式韋達定理是怎樣得到的，就不必刻意去記憶此公式了。如果只是單純記住公式的話，應(yīng)用的靈活度方面將會有很大的局限性了。
總之，大家在學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)知識時，不僅要知其然，更要知其所以然，對其來龍去脈了解清楚，在理解過程中不僅僅能達到記憶的目的，更能靈活應(yīng)用，這才是數(shù)學(xué)的學(xué)習(xí)王道。 |
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