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　　在實(shí)際問題中經(jīng)常要遇到三元以上函數(shù)的極值問題，對(duì)此除了微積分中的方法之外，本文中將介紹如何用二次型的正定性計(jì)算多元函數(shù)極值。

　　一、 基本概念

　　定義1  設(shè)n元函數(shù)在的某個(gè)鄰域內(nèi)有一階、二階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)，記，稱為函數(shù)f(x)在點(diǎn)處的梯度。

　　定義2  滿足的點(diǎn)稱為函數(shù)的駐點(diǎn)。

    定義3

　　稱為函數(shù)在點(diǎn)處的海塞矩陣。顯然是由的個(gè)二階偏導(dǎo)數(shù)構(gòu)成的階實(shí)對(duì)稱矩陣。

　　二、 相關(guān)定理

　　定理1 (極值存在的必要條件)

　　設(shè)函數(shù)在處存在一階偏導(dǎo)數(shù)，且為該函數(shù)的極值點(diǎn)，則。

　　定理2(極值存在的充分條件)

　　設(shè)函數(shù)在的某個(gè)鄰域內(nèi)有一階、二階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)，且，則

　　(1)當(dāng)為正定矩陣時(shí)，為的極小值;

　　(2)當(dāng)為負(fù)定矩陣時(shí)，為的極大值;

　　(3)當(dāng)為不定矩陣時(shí)，不是的極值。

　　三、 例題講解

　　例 求三元函數(shù)的極值。

　　解：先求駐點(diǎn)，由 得

　　所以 駐點(diǎn)

　　再求海塞矩陣

　　因?yàn)?a target="_blank" href="http://11d92t.cn/d/file/jxtd/xxjl/2016-12-30/ff656dd9cd07610f51221233ee1580eb.jpg">

　　所以，可知是正定的，

　　所以在點(diǎn)取得極小值：。

　　備注：利用二次型的正定性來判斷多元函數(shù)的極值雖然是一個(gè)很好的方法，但有一定的局限性，因?yàn)槌浞謼l件對(duì)正定和負(fù)定的要求是很嚴(yán)格的，若條件不滿足，那結(jié)論就不一定成立。

　　基礎(chǔ)部： 韓云娜