在實際問題中經常要遇到三元以上函數的極值問題,對此除了微積分中的方法之外,本文中將介紹如何用二次型的正定性計算多元函數極值。
一、 基本概念
定義1 設n元函數 在 的某個鄰域內有一階、二階連續(xù)偏導數,記 , 稱為函數f(x)在點 處的梯度。
定義2 滿足 的點 稱為函數 的駐點。
定義3

稱為函數 在點 處的海塞矩陣。顯然 是由 的 個二階偏導數構成的階實對稱矩陣。
二、 相關定理
定理1 (極值存在的必要條件)
設函數 在 處存在一階偏導數,且 為該函數的極值點,則 。
定理2(極值存在的充分條件)
設函數 在 的某個鄰域內有一階、二階連續(xù)偏導數,且 ,則
(1)當 為正定矩陣時, 為 的極小值;
(2)當 為負定矩陣時, 為 的極大值;
(3)當 為不定矩陣時, 不是 的極值。
三、 例題講解
例 求三元函數 的極值。
解:先求駐點,由 得
所以 駐點
再求海塞矩陣
因為
所以 ,可知 是正定的,
所以 在點 取得極小值: 。
備注:利用二次型的正定性來判斷多元函數的極值雖然是一個很好的方法,但有一定的局限性,因為充分條件對正定和負定的要求是很嚴格的,若條件不滿足,那結論就不一定成立。
基礎部: 韓云娜 |