Pythagoras of Samos(畢達(dá)哥拉斯，約公元前560-前500)是古希臘的著名哲學(xué)家和數(shù)學(xué)家，大約在公元前525年，創(chuàng)立了一個宗教式的組織，就是今天稱之為畢達(dá)哥拉斯學(xué)派的社團(tuán)，致力于哲學(xué)和數(shù)學(xué)研究。該學(xué)派通過對客觀世界的周密觀察，發(fā)現(xiàn)許多自然現(xiàn)象都依賴于數(shù)，提出了“萬物皆數(shù)”說。他們所說的數(shù)僅指整數(shù)，分?jǐn)?shù)被看成是兩個整數(shù)之比。他們通過揭示數(shù)的奧秘來認(rèn)識自然現(xiàn)象，探索宇宙的規(guī)律。例如，用數(shù)的理論來解釋運動，發(fā)現(xiàn)音樂定律等。該學(xué)派曾通過實驗發(fā)現(xiàn)，兩條質(zhì)地相同水平放置繃緊的弦，若它們長度成小整數(shù)比時，發(fā)音就和諧悅耳，如2:3(稱為五度和音)、3:4(稱為四度和音)。
畢達(dá)哥拉斯學(xué)派還提出了線段的“可公度性”：即對任何兩條給定的線段，總能找到某第三條線段，使得給定的兩條線段的長度都是該線段的整數(shù)倍，就是說：該線段是給定兩線段的公共度量單位。由此可知，任何兩條線段的比都是整數(shù)的比，也就是有理數(shù)。
然而，正是該學(xué)派(據(jù)說是該學(xué)派的成員Hippasus(希帕蘇斯))首先發(fā)現(xiàn)了不可公度線段的存在，例如，正方形的對角線與其一邊就構(gòu)成了不可公度線段。事實上，由勾股定理可以證明它們的長度之比為 ，不是有理數(shù)，而是無理數(shù)(據(jù)說，證明也是由該學(xué)派完成)。這一發(fā)現(xiàn)，是對畢達(dá)哥拉斯學(xué)派的核心思想“萬物皆依賴于整數(shù)”的致命打擊，在該學(xué)派內(nèi)引起了極大的震動，也深深地困惑著當(dāng)時的數(shù)學(xué)家。既然 不能寫成兩個整數(shù)之比，那么它究竟怎樣依賴于整數(shù)呢? 畢達(dá)哥拉斯學(xué)派關(guān)于比例和相似形的理論都是建立在“萬物皆數(shù)”說的基礎(chǔ)上的，現(xiàn)在這個基礎(chǔ)收到了挑戰(zhàn)，發(fā)生了動搖，使得古希臘數(shù)學(xué)的邏輯基礎(chǔ)產(chǎn)生了嚴(yán)重危機，從而爆發(fā)了“第一次數(shù)學(xué)危機”。大約在一個世紀(jì)后，即公元前370年，這一危機才由該派的成員Archytas(阿爾希塔斯)的學(xué)生Eudoxus(歐多克索斯)提出的新比例理論巧妙地避開了量的“可公度”概念而暫時消除了。但是，從理論上徹底克服這一危機還有待于19世紀(jì)后半葉實數(shù)理論的建立。 |
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