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數(shù)學小常識——歷史上幾個有名的悖論

基礎部 宋冬梅

  我們都知道數(shù)學源于生活但高于生活。本文將講述幾個歷史上著名的悖論,以提起讀者對數(shù)學的了解與興趣。

  1.阿基里斯悖論

  公元前400多年,古希臘埃利亞學派的一門徒芝諾提出了一個被稱為阿基里斯的悖論,用來反對赫拉克利特的流動說,維護埃利亞學派的靜止說。

  古代神話中有一位跑得最快的人叫阿基里斯,但他永遠追不上烏龜,意即:阿基里斯的速度遠大于烏龜?shù)乃俣龋珵觚敱劝⒒锼瓜刃幸欢尉嚯xAB,這樣當阿基里斯從點A跑到點B時,烏龜已從點B爬到點B1;當阿基里斯從點B跑到B1時,烏龜又從B1爬到B2……如此下去,阿基里斯永遠也趕不上烏龜。一方面,阿基里斯是跑得最快的人他必能趕上烏龜;另一方面,如上法跑下去他永遠趕不上烏龜。于是便得出矛盾,這就是所謂的阿基里斯悖論。

  2.伽利略悖論

  1638年,伽利略指出以下事實:由于每一個自然數(shù)n都與其平方數(shù)n2之間是一一對應的,所以平方數(shù)的總數(shù)等于自然數(shù)的總數(shù)。平方數(shù)集是自然數(shù)集的部分,從而部分等于全體。這與我們常理中的全體大于部分矛盾,這就是伽利略悖論。

  3.撒謊者悖論

  公元4世紀,歐布里得提出如下的撒謊者悖論:

  “本頁本行所寫的這句話是謊話。”

  因為上行中除這句話外別無它話,所以如果此話為真話,則這行話的確是假話;反之,如果此話是假話,那么這行話應為真話。于是得出矛盾。形成該悖論的關鍵在于,作出論斷的話與被論斷的話混而唯一,要排除這種悖論在文章中的出現(xiàn),就要研究語言的分層,而這是語義學研究的內容。

  4.理發(fā)師悖論(羅素悖論)

  1902年,英國著名哲學家、邏輯學家羅素提出了一個關于集合論的很有影響的悖論,1919年羅素又將其通俗地表述為如下的理發(fā)師悖論:

  薩魏爾村有一位理發(fā)師給自己立了一條規(guī)矩:“他只給村子里不給自己刮胡子的人刮胡子”。

  請問:這位理發(fā)師該不該給自己刮胡子?

  我們不妨推理如下:如果他不給自己刮胡子,那么他是他們村不給自己刮胡子的人,所以他應該給自己刮胡子;如果他給自己刮胡子,那么他是他們村給自己刮胡子的人,按約定他不應該給他自己刮胡子。

  由上述推理發(fā)現(xiàn),不論哪種說法都會導致矛盾,于是出現(xiàn)悖論。

  1902年羅素宣布了一條驚人的消息:集合論是自相矛盾的,沒有相容性!這就是著名的羅素悖論。這一發(fā)現(xiàn)震動了整個數(shù)學界,盡管在這之前人們在數(shù)學中也發(fā)現(xiàn)了悖論,但由于涉及的數(shù)學概念太多,沒有引起人們的足夠重視,所以羅素悖論的出現(xiàn),引起了數(shù)學界的激烈爭論,也使人們對數(shù)學的嚴謹性產生了質疑。

  為了解決集合論中的悖論,人們構造了一些公理系統(tǒng),特別是策墨羅的公理集合論的發(fā)展與完善解決了集合論中的悖論問題。從對悖論的分析和研究,產生了哥德爾不完備性定理,該定理是數(shù)理邏輯學發(fā)展史上的一個里程碑。這也正是人們提出悖論和研究悖論的原因。

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