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　　從樸素極限思想的產(chǎn)生到嚴格極限概念的建立大約經(jīng)歷了兩千多年。我們不可能在很短的篇幅內(nèi)詳盡而細致地表述這段歷史，只能簡要地介紹它的大致過程，本篇文章先簡要介紹樸素極限思想的萌芽。

　　從公元前5世紀開始，一些古代的哲學家和數(shù)學家在研究關于無限性的哲學問題和數(shù)學問題時，已經(jīng)樸素極限思想的萌芽
產(chǎn)生了一些樸素極限思想。

　　例如，古希臘雅典時期的形而上學學者Zeno（芝諾，約公元前490-約公元前430）對無限性、連續(xù)性問題進行探索時，提出了四個著名的悖論，其中大家所熟知的關于“神行太保”Achilles（阿基里斯）永遠追不上烏龜?shù)你Ｕ撌沁@樣說的：設想一只烏龜與Achilles賽跑，烏龜?shù)某霭l(fā)點位于Achilles之前A₀處。當Achilles跑到A₀時，烏龜爬到了A₁；當Achilles跑到A₁時，烏龜爬到了A₂；……，以此類推，Achilles永遠追不上烏龜。盡管這是一個明顯錯誤的結論，但在沒有極限概念的古代，是很難解釋清楚的，因為在這個悖論中，將整個過程分割成無限多個有限過程。但是在今天，利用極限或無窮級數(shù)的知識不難說明，完成這個無限過程所走過的總路程是有限的，所用的時間也是有限的，所以，Achilles是可以追上烏龜?shù)摹?/p>

　　例如，據(jù)我國古代《莊子.天下篇》中記載，公元前3世紀，梁國的宰相惠施（以善辯著稱的名家）說過：

　　“一尺之棰，日取其半，萬世不竭”

　　意思是一根一尺長的棒，每天截取它長度的一半，雖然越來越短，但卻永遠截不完。這段話描述了一個趨于零而不等于零的無限過程。用現(xiàn)在的數(shù)學語言來描述，就是剩余棒長構成一個以零為極限的無窮數(shù)列

　　例如，古希臘雅典時期的詭辯學派的代表人物Antiphon（安蒂豐，約公元前480-約公元前411）為解決“化圓為方”（作一個于給定的圓面積相等的正方形）問題，首先提出了用圓的內(nèi)接正多邊形面積來逼近圓面積的思想（稱為“窮竭法”），后來被古希臘著名的應用數(shù)學家Archimedes（阿基米德，公元前287-公元前212）用于求拋物線圖形面積。

　　例如，我國魏晉時期的數(shù)學家劉徽（約225-295）在對《九章算術》作注中提出“割圓術”作為計算圓周長、圓面積以及圓周率的基礎，基本思想也是用內(nèi)接正多邊形逐步逼近圓。書中指出：

　　“割之彌細，所失彌小，割之又割，以至于不可割，則與圓周合體而無所失矣”。他用這種方法求得的圓周率

被后人稱為“徽率”。