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樸素極限思想的萌芽

基礎(chǔ)部 宋冬梅

  從樸素極限思想的產(chǎn)生到嚴(yán)格極限概念的建立大約經(jīng)歷了兩千多年。我們不可能在很短的篇幅內(nèi)詳盡而細(xì)致地表述這段歷史,只能簡(jiǎn)要地介紹它的大致過(guò)程,本篇文章先簡(jiǎn)要介紹樸素極限思想的萌芽。

  從公元前5世紀(jì)開(kāi)始,一些古代的哲學(xué)家和數(shù)學(xué)家在研究關(guān)于無(wú)限性的哲學(xué)問(wèn)題和數(shù)學(xué)問(wèn)題時(shí),已經(jīng)樸素極限思想的萌芽
產(chǎn)生了一些樸素極限思想。

  例如,古希臘雅典時(shí)期的形而上學(xué)學(xué)者Zeno(芝諾,約公元前490-約公元前430)對(duì)無(wú)限性、連續(xù)性問(wèn)題進(jìn)行探索時(shí),提出了四個(gè)著名的悖論,其中大家所熟知的關(guān)于“神行太保”Achilles(阿基里斯)永遠(yuǎn)追不上烏龜?shù)你U撌沁@樣說(shuō)的:設(shè)想一只烏龜與Achilles賽跑,烏龜?shù)某霭l(fā)點(diǎn)位于Achilles之前A0處。當(dāng)Achilles跑到A0時(shí),烏龜爬到了A1;當(dāng)Achilles跑到A1時(shí),烏龜爬到了A2;……,以此類(lèi)推,Achilles永遠(yuǎn)追不上烏龜。盡管這是一個(gè)明顯錯(cuò)誤的結(jié)論,但在沒(méi)有極限概念的古代,是很難解釋清楚的,因?yàn)樵谶@個(gè)悖論中,將整個(gè)過(guò)程分割成無(wú)限多個(gè)有限過(guò)程。但是在今天,利用極限或無(wú)窮級(jí)數(shù)的知識(shí)不難說(shuō)明,完成這個(gè)無(wú)限過(guò)程所走過(guò)的總路程是有限的,所用的時(shí)間也是有限的,所以,Achilles是可以追上烏龜?shù)摹?/p>

  例如,據(jù)我國(guó)古代《莊子.天下篇》中記載,公元前3世紀(jì),梁國(guó)的宰相惠施(以善辯著稱的名家)說(shuō)過(guò):

  “一尺之棰,日取其半,萬(wàn)世不竭”

  意思是一根一尺長(zhǎng)的棒,每天截取它長(zhǎng)度的一半,雖然越來(lái)越短,但卻永遠(yuǎn)截不完。這段話描述了一個(gè)趨于零而不等于零的無(wú)限過(guò)程。用現(xiàn)在的數(shù)學(xué)語(yǔ)言來(lái)描述,就是剩余棒長(zhǎng)構(gòu)成一個(gè)以零為極限的無(wú)窮數(shù)列

  例如,古希臘雅典時(shí)期的詭辯學(xué)派的代表人物Antiphon(安蒂豐,約公元前480-約公元前411)為解決“化圓為方”(作一個(gè)于給定的圓面積相等的正方形)問(wèn)題,首先提出了用圓的內(nèi)接正多邊形面積來(lái)逼近圓面積的思想(稱為“窮竭法”),后來(lái)被古希臘著名的應(yīng)用數(shù)學(xué)家Archimedes(阿基米德,公元前287-公元前212)用于求拋物線圖形面積。

  例如,我國(guó)魏晉時(shí)期的數(shù)學(xué)家劉徽(約225-295)在對(duì)《九章算術(shù)》作注中提出“割圓術(shù)”作為計(jì)算圓周長(zhǎng)、圓面積以及圓周率的基礎(chǔ),基本思想也是用內(nèi)接正多邊形逐步逼近圓。書(shū)中指出:

  “割之彌細(xì),所失彌小,割之又割,以至于不可割,則與圓周合體而無(wú)所失矣”。他用這種方法求得的圓周率

被后人稱為“徽率”。

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