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微積分中的牛頓和萊布尼茨

基礎(chǔ)部 韓云娜

  萊布尼茨創(chuàng)立微積分先是出于幾何問題的思考。1673年,他提出了自己的“微分三角形”理論,借助于這種無限小三角形,他迅速地、毫無困難地了建立大量定理。1666年,萊布尼茨在序列的求和運(yùn)算與求差運(yùn)算間發(fā)現(xiàn)了它們的互逆關(guān)系。從1672年開始,他通過把曲線的縱坐標(biāo)想象成一組無窮序列,得出了“求切線不過是求差,求積不過是求和”的結(jié)論。

  萊布尼茨引進(jìn)了微分記號(hào)“dx”來表示兩相鄰x的值的差。之后又給出了計(jì)算復(fù)合函數(shù)微分的鏈?zhǔn)椒▌t。1677年,萊布尼茨在一篇手稿中明確陳述了微積分基本定理。1684年萊布尼茲發(fā)表了他的第一篇微分學(xué)論文《新方法》,其中定義了微分并廣泛采用了微分記號(hào),明確陳述了函數(shù)和、差、積、商、乘冪與方根的微分公式,并包含了微分法在求極值、拐點(diǎn)以及光學(xué)等方面的廣泛應(yīng)用。1686年,萊布尼茲又發(fā)表了他的第一篇積分學(xué)論文《深閑的幾何與不可分量及無限的分析》。此論文初步論述了積分或求積問題與微分或切線問題的互逆關(guān)系,說明了他的方法和符號(hào),積分號(hào)"∫"第一次出現(xiàn)于印刷出版物上。萊布尼茨引進(jìn)的符號(hào)體現(xiàn)了微分與積分的“差”與“和”的實(shí)質(zhì),后來獲得普遍接受并沿用至今。

  牛頓對(duì)微積分問題的研究始于他對(duì)簡卡爾圓法發(fā)生興趣而開始尋找更好的切線求法。1669年,他完成了第一篇有關(guān)微積分的論文,論文中不僅給出了求瞬時(shí)變化率的一般方法,還證明了面積可由求變化率的逆過程得到。1671年牛頓的論著《流數(shù)法和無窮級(jí)數(shù)》中敘述了微積分基本定理,對(duì)微積分思想作了廣泛而更明確的說明,并最終完成了對(duì)初期微積分研究的修正和完善。在牛頓以前,面積總被看成是無限小不可分量之和,而牛頓則從確定面積的變化率入手,通過反微分計(jì)算面積。面積計(jì)算與求切線問題的互逆關(guān)系,在牛頓這里被明確地作為一般規(guī)律揭示出來,并成了建立微積分普遍算法的基礎(chǔ)。牛頓的正、反流數(shù)術(shù)亦即微分與積分,通過揭示它們互逆關(guān)系的所謂“微積分基本定理”統(tǒng)一為一個(gè)整體。在《流數(shù)簡論》中,牛頓還將他建立的統(tǒng)一算法應(yīng)用于求曲線的切線、曲率、拐點(diǎn)、曲線求長、求積、求引力與引力中心等問題中,展示了其算法極大的普遍性與系統(tǒng)性。后牛頓又努力改進(jìn)、完善自己的微積分學(xué)說,先后寫成了三篇微積分論文:《分析學(xué)》、《流數(shù)法》、《求積術(shù)》。它們真實(shí)地再現(xiàn)了牛頓創(chuàng)建微積分學(xué)說的思想歷程。

  牛頓是在力學(xué)研究的基礎(chǔ)上,運(yùn)用幾何方法研究微積分的;萊布尼茲主要是在研究曲線

  的切線和面積的問題上,運(yùn)用分析學(xué)方法引進(jìn)微積分要領(lǐng)的。在積分上,牛頓偏重于求積分的逆運(yùn)算,即不定積分;而萊布尼茨側(cè)重于求微分的和,即定積分。牛頓先有導(dǎo)數(shù)概念,后有積分概念;萊布尼茲則先有積分概念,后有導(dǎo)數(shù)概念。

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