萊布尼茨創(chuàng)立微積分先是出于幾何問題的思考。1673年，他提出了自己的“微分三角形”理論，借助于這種無限小三角形，他迅速地、毫無困難地了建立大量定理。1666年，萊布尼茨在序列的求和運算與求差運算間發(fā)現(xiàn)了它們的互逆關(guān)系。從1672年開始，他通過把曲線的縱坐標(biāo)想象成一組無窮序列，得出了“求切線不過是求差，求積不過是求和”的結(jié)論。
萊布尼茨引進(jìn)了微分記號“dx”來表示兩相鄰x的值的差。之后又給出了計算復(fù)合函數(shù)微分的鏈?zhǔn)椒▌t。1677年，萊布尼茨在一篇手稿中明確陳述了微積分基本定理。1684年萊布尼茲發(fā)表了他的第一篇微分學(xué)論文《新方法》，其中定義了微分并廣泛采用了微分記號，明確陳述了函數(shù)和、差、積、商、乘冪與方根的微分公式，并包含了微分法在求極值、拐點以及光學(xué)等方面的廣泛應(yīng)用。1686年，萊布尼茲又發(fā)表了他的第一篇積分學(xué)論文《深閑的幾何與不可分量及無限的分析》。此論文初步論述了積分或求積問題與微分或切線問題的互逆關(guān)系，說明了他的方法和符號，積分號"∫"第一次出現(xiàn)于印刷出版物上。萊布尼茨引進(jìn)的符號體現(xiàn)了微分與積分的“差”與“和”的實質(zhì)，后來獲得普遍接受并沿用至今。
牛頓對微積分問題的研究始于他對簡卡爾圓法發(fā)生興趣而開始尋找更好的切線求法。1669年，他完成了第一篇有關(guān)微積分的論文,論文中不僅給出了求瞬時變化率的一般方法，還證明了面積可由求變化率的逆過程得到。1671年牛頓的論著《流數(shù)法和無窮級數(shù)》中敘述了微積分基本定理，對微積分思想作了廣泛而更明確的說明，并最終完成了對初期微積分研究的修正和完善。在牛頓以前，面積總被看成是無限小不可分量之和，而牛頓則從確定面積的變化率入手，通過反微分計算面積。面積計算與求切線問題的互逆關(guān)系，在牛頓這里被明確地作為一般規(guī)律揭示出來，并成了建立微積分普遍算法的基礎(chǔ)。牛頓的正、反流數(shù)術(shù)亦即微分與積分，通過揭示它們互逆關(guān)系的所謂“微積分基本定理”統(tǒng)一為一個整體。在《流數(shù)簡論》中，牛頓還將他建立的統(tǒng)一算法應(yīng)用于求曲線的切線、曲率、拐點、曲線求長、求積、求引力與引力中心等問題中，展示了其算法極大的普遍性與系統(tǒng)性。后牛頓又努力改進(jìn)、完善自己的微積分學(xué)說，先后寫成了三篇微積分論文:《分析學(xué)》、《流數(shù)法》、《求積術(shù)》。它們真實地再現(xiàn)了牛頓創(chuàng)建微積分學(xué)說的思想歷程。
牛頓是在力學(xué)研究的基礎(chǔ)上，運用幾何方法研究微積分的;萊布尼茲主要是在研究曲線
的切線和面積的問題上，運用分析學(xué)方法引進(jìn)微積分要領(lǐng)的。在積分上，牛頓偏重于求積分的逆運算，即不定積分;而萊布尼茨側(cè)重于求微分的和，即定積分。牛頓先有導(dǎo)數(shù)概念，后有積分概念;萊布尼茲則先有積分概念，后有導(dǎo)數(shù)概念。 |
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